La integral definida de una función f(x) en el intervalo [a, b] se escribe como:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx.$$
Primer teorema fundamental del cálculo
Si la función y = f(x) es continua y de valores reales definida en un intervalo cerrado [a, b], entonces esta función es diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y se cumple:
$${F}'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt=f(x).$$
Segundo teorema fundamental del cálculo (axioma de Newton-Leibniz)
Si la función f(x) es integrable en el sentido de Riemann en [a, b] y existe una antiderivada F(x) de f(x) en [a, b], entonces:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
La integral definida de 1
$$\int_{a}^{b} 1\,dx=b-a$$
Un factor constante puede salir del signo integral
$$\int_{a}^{b} c \times f(x)\,dx=c \times \int_{a}^{b} f(x)\,dx$$
La integral definida de una suma o diferencia
$$\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$
Inversión de los límites de integración
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{b}^{a} f(x)\,dx$$
Mismo límite superior e inferior de una integral definida
$$\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0$$
Aditividad
Para cada uno de los tres números a, b y c, en la región donde la función f(x) es integrable, se cumple la igualdad:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx$$
Linealidad
$$\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx=\alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$
Desigualdades entre funciones
Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ (a, b), entonces:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx\leq \int_{a}^{b} g(x)\,dx$$
Véase también:
Aprendizaje enfocado para niños pequeños
