Aquí están las principales fórmulas del triángulo: área, perímetro, altura, radio inscrito, radio circunscrito y fórmulas para triángulos equiláteros, isósceles y rectángulos.
Fórmulas del triángulo en resumen
- Área con base y altura: \(S=\frac{a \times h}{2}\)
- Perímetro: \(P=a+b+c\)
- Semiperímetro: \(s=\frac{a+b+c}{2}\)
- Fórmula de Herón: \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
- Altura a partir del área: \(h=\frac{2S}{a}\)
- Radio inscrito: \(r=\frac{S}{s}=\frac{2S}{P}\)
- Radio circunscrito: \(R=\frac{abc}{4S}\)
Un triángulo es una figura plana con tres vértices, tres lados y tres ángulos interiores. La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°.
Suma de los ángulos interiores:
$$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$
Tipos de triángulos
Los triángulos se clasifican por ángulos y por lados. Por ángulos, los triángulos son:
- Triángulo rectángulo - un ángulo mide 90°
- Triángulo acutángulo - todos los ángulos son menores que 90°
- Triángulo obtusángulo - un ángulo es mayor que 90°
- Triángulo oblicuo - triángulo acutángulo u obtusángulo
Por lados, los triángulos son:
- Triángulo equilátero - todos los lados son iguales y todos los ángulos miden 60°
- Triángulo isósceles - dos lados son iguales
- Triángulo escaleno - todos los lados tienen longitudes diferentes
Área de un triángulo
El área de un triángulo se puede calcular de varias maneras. La fórmula más usada emplea la base y la altura.
1. Con base y altura:
$$S= \frac{a \times h}{2}$$
donde,
a - base;
h - altura.
Ejemplo: si la base es 8 cm y la altura es 5 cm, entonces \(S=\frac{8 \times 5}{2}=20\) cm2.
2. Con los tres lados (fórmula de Herón):
\begin{align} S &=\sqrt{s \times (s-a) \times (s-b) \times (s-c)} \\ s &=\frac {a+b+c}{2} \\ \end{align}
donde,
a, b, c - los lados del triángulo.
La fórmula de Herón se usa cuando se conocen los tres lados, pero no se conoce la altura.
3. Con el radio inscrito y el perímetro:
$$S= \frac{r \times P}{2}$$
donde,
r - radio inscrito;
P - perímetro del triángulo.
4. Con dos lados y el ángulo comprendido:
$$S= \frac{ab\;\textrm{sin}\,\gamma }{2} = \frac{bc\;\textrm{sin}\,\alpha }{2} = \frac{ac\;\textrm{sin}\,\beta }{2}$$
donde,
a, b, c - los lados del triángulo;
α, β, γ - los ángulos interiores del triángulo.
5. Con un lado y sus ángulos adyacentes:
$$S= \frac{a^{2}}{2\;(\textrm{cot}\,\beta+\textrm{cot}\,\gamma)}=\frac{a^{2}(\textrm{sin}\,\beta)(\textrm{sin}\,\gamma)}{2\,\textrm{sin}\,(\beta+\gamma)}$$
donde,
a - un lado del triángulo;
β, γ - los ángulos adyacentes al lado a.
La última fórmula puede aplicarse a cualquier lado y a los dos ángulos adyacentes de ese lado.
Altura de un triángulo
Si se conocen el área y la base, la altura se obtiene a partir de la fórmula del área:
$$h=\frac{2S}{a}$$
donde,
S - área del triángulo;
a - base.
Ejemplo: si el área es 30 cm2 y la base es 10 cm, entonces \(h=\frac{2 \times 30}{10}=6\) cm.
Perímetro de un triángulo
El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados.
$$P=a+b+c$$
donde,
a, b, c - los lados del triángulo.
Ejemplo: si los lados son 4 cm, 5 cm y 6 cm, entonces \(P=4+5+6=15\) cm.
Círculo inscrito y circunscrito
El radio inscrito de un triángulo se puede calcular con el área y el semiperímetro:
$$r=\frac{S}{s}=\frac{2S}{P}$$
El radio circunscrito de un triángulo se puede calcular con los lados y el área:
$$R=\frac{abc}{4S}$$
donde,
r - radio inscrito;
R - radio circunscrito;
s - semiperímetro.
Triángulo equilátero
La altura de un triángulo equilátero:
$$h= \frac{a \sqrt{3}}{2}$$
donde,
a - lado del triángulo.
El área de un triángulo equilátero:
$$S= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$$
El perímetro de un triángulo equilátero:
$$P=3a$$
Triángulo isósceles
La altura de un triángulo isósceles:
$$h= \sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$
donde,
a - base;
b - lado igual.
El área de un triángulo isósceles a partir de la base y el lado igual:
$$S=\frac{a}{4}\sqrt{4b^{2}-a^{2}}$$
El perímetro de un triángulo isósceles:
$$P=a+2b$$
Triángulo rectángulo
Los lados de un triángulo rectángulo son los catetos a y b, y la hipotenusa c. En un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras.
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
El área de un triángulo rectángulo:
$$S=\frac{ab}{2}$$
El perímetro de un triángulo rectángulo:
$$P=a+b+c$$
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el área de un triángulo?
Si se conocen la base y la altura, usa \(S=\frac{a \times h}{2}\). Si se conocen los tres lados, usa la fórmula de Herón \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\).
¿Cómo se calcula la altura de un triángulo?
Si se conocen el área y la base, usa \(h=\frac{2S}{a}\). En un triángulo isósceles, la altura se puede calcular con \(h=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\).
¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo?
Suma los tres lados: \(P=a+b+c\). En un triángulo equilátero, \(P=3a\); en un triángulo isósceles, \(P=a+2b\).
¿Un triángulo tiene volumen?
Un triángulo es una figura plana, por lo que no tiene volumen. El volumen se calcula para sólidos tridimensionales, como un prisma triangular.
