Integral definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] é escrita como:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx.$$
Primeiro teorema fundamental do cálculo
Se a função y = f(x) é contínua e real definida no intervalo fechado [a; b], então essa função é diferenciável no intervalo aberto (a, b), e:
$${F}'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)dt=f(x).$$
Segundo teorema fundamental do cálculo (axioma de Newton-Leibniz)
Se a função f(x) é integrável no sentido de Riemann em [a, b] e existe uma antiderivada F(x) de f(x) em [a, b], então:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a).$$
A integral definida de 1
$$\int_{a}^{b} 1dx=b-a$$
Um fator constante pode ser retirado do sinal de integral
$$\int_{a}^{b} c\times f(x)dx=c\times \int_{a}^{b} f(x)dx$$
A integral definida da soma ou diferença
$$\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]dx=\int_{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx$$
Inversão dos limites de integração
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx$$
Mesmos limites superior e inferior
$$\int_{a}^{a} f(x)dx=0$$
Aditividade
Para quaisquer três números a, b e c, no intervalo em que a função f (x) é integrável, vale:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx$$
Linearidade
$$\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx=\alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$$
Desigualdades entre funções
Se f(x) ≤ g(x) para cada x ∈ (a, b), então:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx\leq \int_{a}^{b} g(x)dx$$
Veja também:
Aprendizagem focada para crianças pequenas
