Aqui estão as principais fórmulas do triângulo: área, perímetro, altura, raio inscrito, raio circunscrito e fórmulas para triângulos equiláteros, isósceles e retângulos.
Fórmulas do triângulo em resumo
- Área com base e altura: \(S=\frac{a \times h}{2}\)
- Perímetro: \(P=a+b+c\)
- Semiperímetro: \(s=\frac{a+b+c}{2}\)
- Fórmula de Heron: \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
- Altura a partir da área: \(h=\frac{2S}{a}\)
- Raio inscrito: \(r=\frac{S}{s}=\frac{2S}{P}\)
- Raio circunscrito: \(R=\frac{abc}{4S}\)
Um triângulo é uma figura plana com três vértices, três lados e três ângulos internos. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°.
Soma dos ângulos internos:
$$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$
Tipos de triângulos
Os triângulos são classificados por ângulos e por lados. Por ângulos, os triângulos são:
- Triângulo retângulo - um ângulo mede 90°
- Triângulo acutângulo - todos os ângulos são menores que 90°
- Triângulo obtusângulo - um ângulo é maior que 90°
- Triângulo oblíquo - triângulo acutângulo ou obtusângulo
Por lados, os triângulos são:
- Triângulo equilátero - todos os lados são iguais e todos os ângulos medem 60°
- Triângulo isósceles - dois lados são iguais
- Triângulo escaleno - todos os lados têm comprimentos diferentes
Área de um triângulo
A área de um triângulo pode ser calculada de várias maneiras. A fórmula mais usada utiliza a base e a altura.
1. Com base e altura:
$$S= \frac{a \times h}{2}$$
onde,
a - base;
h - altura.
Exemplo: se a base é 8 cm e a altura é 5 cm, então \(S=\frac{8 \times 5}{2}=20\) cm2.
2. Com os três lados (fórmula de Heron):
\begin{align} S &=\sqrt{s \times (s-a) \times (s-b) \times (s-c)} \\ s &=\frac {a+b+c}{2} \\ \end{align}
onde,
a, b, c - os lados do triângulo.
A fórmula de Heron é usada quando os três lados são conhecidos, mas a altura não é conhecida.
3. Com o raio inscrito e o perímetro:
$$S= \frac{r \times P}{2}$$
onde,
r - raio inscrito;
P - perímetro do triângulo.
4. Com dois lados e o ângulo entre eles:
$$S= \frac{ab\;\textrm{sin}\,\gamma }{2} = \frac{bc\;\textrm{sin}\,\alpha }{2} = \frac{ac\;\textrm{sin}\,\beta }{2}$$
onde,
a, b, c - os lados do triângulo;
α, β, γ - os ângulos internos do triângulo.
5. Com um lado e seus ângulos adjacentes:
$$S= \frac{a^{2}}{2\;(\textrm{cot}\,\beta+\textrm{cot}\,\gamma)}=\frac{a^{2}(\textrm{sin}\,\beta)(\textrm{sin}\,\gamma)}{2\,\textrm{sin}\,(\beta+\gamma)}$$
onde,
a - um lado do triângulo;
β, γ - os ângulos adjacentes ao lado a.
A última fórmula pode ser aplicada a qualquer lado e aos dois ângulos adjacentes desse lado.
Altura de um triângulo
Se a área e a base são conhecidas, a altura é obtida a partir da fórmula da área:
$$h=\frac{2S}{a}$$
onde,
S - área do triângulo;
a - base.
Exemplo: se a área é 30 cm2 e a base é 10 cm, então \(h=\frac{2 \times 30}{10}=6\) cm.
Perímetro de um triângulo
O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos dos três lados.
$$P=a+b+c$$
onde,
a, b, c - os lados do triângulo.
Exemplo: se os lados são 4 cm, 5 cm e 6 cm, então \(P=4+5+6=15\) cm.
Círculo inscrito e circunscrito
O raio inscrito de um triângulo pode ser calculado com a área e o semiperímetro:
$$r=\frac{S}{s}=\frac{2S}{P}$$
O raio circunscrito de um triângulo pode ser calculado com os lados e a área:
$$R=\frac{abc}{4S}$$
onde,
r - raio inscrito;
R - raio circunscrito;
s - semiperímetro.
Triângulo equilátero
A altura de um triângulo equilátero:
$$h= \frac{a \sqrt{3}}{2}$$
onde,
a - lado do triângulo.
A área de um triângulo equilátero:
$$S= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$$
O perímetro de um triângulo equilátero:
$$P=3a$$
Triângulo isósceles
A altura de um triângulo isósceles:
$$h= \sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$
onde,
a - base;
b - lado igual.
A área de um triângulo isósceles a partir da base e do lado igual:
$$S=\frac{a}{4}\sqrt{4b^{2}-a^{2}}$$
O perímetro de um triângulo isósceles:
$$P=a+2b$$
Triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo são os catetos a e b, e a hipotenusa c. Em um triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras.
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$
A área de um triângulo retângulo:
$$S=\frac{ab}{2}$$
O perímetro de um triângulo retângulo:
$$P=a+b+c$$
Perguntas frequentes
Como calcular a área de um triângulo?
Se a base e a altura são conhecidas, use \(S=\frac{a \times h}{2}\). Se os três lados são conhecidos, use a fórmula de Heron \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\).
Como calcular a altura de um triângulo?
Se a área e a base são conhecidas, use \(h=\frac{2S}{a}\). Em um triângulo isósceles, a altura pode ser calculada com \(h=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\).
Como calcular o perímetro de um triângulo?
Some os três lados: \(P=a+b+c\). Em um triângulo equilátero, \(P=3a\); em um triângulo isósceles, \(P=a+2b\).
Um triângulo tem volume?
Um triângulo é uma figura plana, portanto não tem volume. O volume é calculado para sólidos tridimensionais, como um prisma triangular.
