En matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es un conjunto de una o más ecuaciones lineales que involucran el mismo conjunto de variables. Por ejemplo, un sistema con dos variables tiene la siguiente forma general:
\begin{align} \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y&=c_{1},\\ a_{2}x+b_{2}y&=c_{2}. \end{matrix}\right. \end{align}
donde,
x,y — variables, incógnitas;
a1, a2, b1, b2, c1, c2 — coeficientes del sistema, constantes.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, las ecuaciones deben transformarse a la forma general y luego resolverse con una técnica adecuada.
Método de eliminación de variables
El método más sencillo para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede describirse así:
- En la primera ecuación, despejar una de las variables en función de la otra;
- Sustituir esta expresión en la otra ecuación;
- Resolver la ecuación lineal resultante;
- Volver a sustituir para encontrar el valor de la variable restante.
Ejemplo 1.
\begin{align} \left\{\begin{matrix} 3x-7y =16,\\ x-5y =0. \end{matrix}\right. \\ \\ 3\times 5y-7y = 16 \Rightarrow y &= 2 \\ x-5 \times 2 = 0 \Rightarrow x &= 10 \end{align}
Método de adición
Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales con el método de adición:
- Si en una de las ecuaciones el coeficiente de una variable es el opuesto del coeficiente de esa misma variable en la otra ecuación, se suman ambas ecuaciones para eliminar la variable. Si no, se multiplica alguna de las ecuaciones por un número distinto de cero hasta obtener coeficientes opuestos, y luego se suman;
- Resolver la ecuación resultante para la variable restante;
- Sustituir ese valor en una de las ecuaciones originales y resolver para la otra variable.
Ejemplo 2.
\begin{align} \left\{\begin{matrix} 3x-7y =16\\ x-5y =0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} \\ \times (-3) \end{matrix} \\ \\ 3x-3x-7y+15y = 16+0 \Rightarrow y &= 2 \\ x-5 \times 2 = 0 \Rightarrow x &= 10 \end{align}
Véase también:
Preguntas frecuentes
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Es un conjunto de ecuaciones lineales que comparten las mismas variables y que deben cumplirse al mismo tiempo.
¿Cómo se resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales?
Puede resolverse con métodos como sustitución o adición, despejando una variable o eliminándola para encontrar los valores desconocidos.
¿Qué significa que un sistema tenga solución?
Significa que existe al menos un conjunto de valores para las variables que satisface simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.
