Un determinante es una función en álgebra lineal que asocia un número a cada matriz cuadrada. El determinante solo está definido para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz cuadrada de segundo orden se puede calcular con la fórmula:
\begin{align} \det(A)=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc \end{align}
El determinante de una matriz cuadrada de tercer orden se puede calcular con la fórmula:
\begin{align} \det(A)&=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\\ &=a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31}+ a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{13}a_{22}a_{31}- a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33} \end{align}
En general, el determinante de una matriz n×n se puede calcular usando la fórmula de Leibniz o la expansión de Laplace.
Complemento algebraico, subdeterminante y menor
El complemento algebraico de un elemento aij, denotado como Aij, es el menor Mij con un signo. Se toma con signo “+” cuando la suma de los índices i+j es par, y con signo “−” cuando es impar.
El menor Mij de un elemento aij es el determinante de la matriz obtenida al eliminar la fila i y la columna j de A.
Por ejemplo, consideremos una matriz 3×3:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
El menor M2,3 se obtiene eliminando la segunda fila y la tercera columna:
M_{2,3}=\det\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}
Fórmula de Leibniz para el cálculo del determinante
Se toma la suma sobre todas las permutaciones σ del conjunto {1, 2, ..., n}:
\det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}
Fórmula de Laplace (expansión)
Según la fórmula de Laplace, el valor del determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) y sus complementos algebraicos:
\det(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}
Expresando el complemento algebraico mediante menores:
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}
Propiedades de los determinantes
1. El valor de un determinante no cambia al transponer la matriz:
\det(A)=\det(A^{T})
2. El determinante es cero si:
- todos sus elementos son ceros,
- dos filas (o columnas) son iguales,
- una fila (o columna) es proporcional a otra,
- una fila (o columna) es combinación lineal de las demás.
3. Si se intercambian dos filas, el signo del determinante cambia:
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=n, \quad \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{vmatrix}=-n
4. Si se multiplica una fila (o columna) por un escalar, el determinante se multiplica por ese escalar.
5. Si una fila (o columna) es la suma de dos partes, el determinante puede expresarse como suma de dos determinantes.
6. Sumar un múltiplo de una fila a otra no cambia el determinante.
7. Los determinantes de orden mayor se pueden reducir recursivamente a menores (expansión de Laplace).
8. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes:
\det(A)\cdot \det(B)=\det(AB)=\det(BA)
Preguntas frecuentes
¿Qué es un determinante?
Es un valor asociado a una matriz cuadrada que ayuda a estudiar sus propiedades.
¿Para qué sirve?
Sirve para resolver sistemas, estudiar invertibilidad y calcular áreas o volúmenes.
¿Qué pasa si es cero?
La matriz no es invertible.
