O determinante é uma função da álgebra linear que associa um número a cada matriz quadrada. O determinante é definido apenas para matrizes quadradas.
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 pode ser calculado pela fórmula:
\begin{align} \textrm{det}(A)=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc. \end{align}
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser calculado pela fórmula:
\begin{align} \textrm{det}(A)&=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\\ \\ &=a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{13}a_{22}a_{31} − a_{11}a_{23}a_{32} − a_{12}a_{21}a_{33} \end{align}
Em geral, o determinante de uma matriz n×n pode ser calculado pela fórmula de Leibniz ou pela expansão de Laplace.
Complemento algébrico, subdeterminante e menor
O complemento algébrico de um elemento aij, denotado por Aij, é chamado de cofator desse elemento. Ele recebe sinal "+" quando a soma dos índices i+j é par, e sinal "-" quando é ímpar.
O menor de um elemento aij na matriz A, denotado por Mij, é o determinante da matriz obtida ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
Considere uma matriz 3x3:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & {\color{Red} a_{{\color{Red}2}{\color{Red}3}}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
O menor M2,3 desse determinante pode ser encontrado com o subdeterminante:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & * \\ * & * & {\color{Red} *} \\ a_{31} & a_{32} & * \end{pmatrix}
$$M_{2,3}= \textrm{det} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}$$
Fórmula de Leibniz para o cálculo do determinante
Considere a soma sobre todas as permutações σ do conjunto {1, 2, ..., n}:
$$\textrm{det}(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \textrm{sgn}(\sigma )\prod_{i=1}^{n}A_{i,\sigma_{i}}$$
Fórmula de Laplace para o cálculo do determinante
De acordo com a fórmula de Laplace, o valor do determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha e seus complementos algébricos correspondentes.
$$\textrm{det}(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$$
onde,
a— elemento da matriz;
A— complemento algébrico do elemento correspondente.
Expressando o complemento algébrico em função do menor, temos:
$$\textrm{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$
Propriedades dos determinantes
1. O valor do determinante não muda quando a matriz é transposta:
$$\textrm{det}(A)=\textrm{det}(A^{T})$$
2. O determinante é zero se:
- todos os elementos forem zero,
- uma linha ou coluna for igual a outra correspondente,
- uma linha ou coluna for proporcional a outra correspondente,
- uma linha/coluna puder ser expressa como soma de múltiplos escalares das demais linhas/colunas.
3. Se duas linhas forem trocadas, o sinal do determinante muda:
\begin{align} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}&=n\\ \\ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{vmatrix}&=-n\\ \end{align}
4. Ao multiplicar o determinante por um escalar, apenas uma linha ou coluna é multiplicada. O inverso também é verdadeiro: se uma linha ou coluna for múltipla de um escalar, esse escalar pode ser colocado fora do determinante.
5. Se cada elemento de uma linha (ou coluna) for a soma de dois termos, o determinante pode ser expresso como a soma de dois determinantes. No primeiro determinante, consideram-se os primeiros termos; no segundo, os segundos termos, mantendo as demais linhas/colunas iguais às do determinante original.
6. O valor do determinante não se altera quando se soma a uma linha um múltiplo correspondente de outra linha.
7. Como o determinante é definido de forma indutiva (1ª ordem, 2ª ordem, etc.), determinantes maiores podem ser calculados como soma de menores ou subdeterminantes.
8. O produto dos determinantes de A e B é igual ao determinante do produto das matrizes, independentemente da ordem:
$$\textrm{det}(A) \times \textrm{det}(B)=\textrm{det}(AB)=\textrm{det}(BA)$$
Aprendizagem focada para crianças pequenas
